전류 밀도

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1. 개요
2. 정의
3. 연속 방정식
4. 전류와의 관계
5. 물질 내 전류 밀도
6. 중요성 및 실제 응용
참조

1. 개요

전류 밀도는 단위 면적당 흐르는 전류의 양을 나타내는 물리량이다. 이는 전류를 단면적으로 나눈 값으로 정의되며, 벡터량으로 표현된다. 전류 밀도는 전기 및 전자 시스템 설계에 중요한 요소이며, 회로의 성능과 도체의 치수에 영향을 미친다. 높은 전류 밀도는 열 발생, 재료 손상, 초전도 특성 손실 등 원치 않는 결과를 초래할 수 있다. 전류 밀도는 맥스웰 방정식, 연속 방정식 등과 관련되어 있으며, 물질 내 전하의 이동을 설명하는 데 사용된다. 또한 반도체 소자, 전기 배선, 생명 과학 등 다양한 분야에서 중요하게 다루어진다.

2. 정의

전류 밀도는 주어진 단면적을 통과하는 전류의 양으로 정의된다.^[3] 하위 섹션에서 기본 정의, 미시적 정의, 일반적인 표현을 통해 더 자세히 설명한다.

기본 정의: 단면적 ''S''를 통과하는 전류 ''I''의 비율로 표현한다.
미시적 정의: 전하 밀도 ''ρ''와 전하 속도 '''v'''의 곱으로 나타낸다.
일반적인 표현: 면적분과 플럭스 개념을 이용하여 정의한다.

2. 1. 기본 정의

Current density|전류 밀도^영어는 주어진 단면적을 통과하는 전류의 양으로 정의된다.

:

J = \frac {I} {S}

::''J'' = 전류밀도

::''I'' = 흐르는 전류

::''S'' = 단면적

(SI 단위: m²)가 주어진 점 을 중심으로 하고, 에서의 전하 운동에 수직인 작은 면적이라고 가정하자. (SI 단위: A)가 를 통과하는 전류라면, 에서의 '''전류 밀도''' 는 다음과 같은 극한으로 주어진다.^[3]

:

j = \lim_{A \to 0} \frac{I_A}{A} = \left.\frac{\partial I}{\partial A} \right|_{A=0},

여기서 면적 는 극한 과정 동안 을 중심으로 하고 전하의 운동에 수직으로 유지된다.

'''전류 밀도 벡터''' 는 크기가 전류 밀도이고, 방향이 에서의 양전하의 운동 방향과 같은 벡터이다.

주어진 시간 에, 가 에서의 전하의 속도이고, 가 을 중심으로 하고 에 수직인 미소 면적이라면, 시간 간격 동안 를 통과하는 것은 와

v \,dt

로 이루어진 부피에 포함된 전하뿐이다. 이 전하는

d q = \rho \, v\, dt \, dA,

와 같고, 여기서 는 에서의 전하 밀도이다. 전류는

dI = dq/dt = \rho v dA

이고, 따라서 전류 밀도 벡터는 벡터 법선

dA

(즉, 와 평행)이고 크기는

dI/dA = \rho v

이다.

:

\mathbf{j} = \rho \mathbf{v}.

면 에 대한 의 면적분을 시간 구간 부터 까지 적분하면, 그 시간 () 동안 면을 통과하는 총 전하량을 얻는다.

:

q=\int_{t_1}^{t_2}\iint_S \mathbf{j}\cdot\mathbf{\hat{n}}\,dA \,dt.

더 간결하게 말하면, 이것은 과 사이에 를 가로지르는 의 플럭스의 적분이다.

플럭스를 계산하는 데 필요한 면적은 실제 또는 허수, 평면 또는 곡면이며, 단면적 또는 표면으로 사용된다. 예를 들어, 전기 전도체를 통과하는 전하 운반자의 경우, 면적은 고려되는 단면의 전도체 단면적이다.

벡터 면적은 전하 운반자가 통과하는 면적의 크기 와 면에 수직인 단위 벡터

\mathbf{\hat{n}}.

의 조합이다. 관계는

\mathbf{A} = A \mathbf{\hat{n}}.

이다.

미소 벡터 면적은 위에서 주어진 정의에서 유사하게 따른다:

d\mathbf{A} = dA \mathbf{\hat{n}}.

전류 밀도 가 면 법선

\mathbf{\hat{n}}.

에 대한 각도 로 면을 통과하면,

:

\mathbf{j}\cdot\mathbf{\hat{n}}= j\cos\theta

여기서 는 단위 벡터의 내적이다. 즉, 면을 통과하는 (즉, 면에 수직인) 전류 밀도의 성분은 이고, 면에 접선 방향으로 통과하는 전류 밀도의 성분은 이지만, 실제로 면을 ''통과하는'' 접선 방향의 전류 밀도는 ''없다''. 면에 수직으로 통과하는 전류 밀도의 ''유일한'' 성분은 코사인 성분이다.

2. 2. 미시적 정의

A^영어 (SI 단위: m²)가 주어진 점 M^영어을 중심으로 하고, M^영어에서의 전하 운동에 수직인 작은 면적이라고 가정하자. I (SI 단위: A)가 A^영어를 통과하는 전류라면, M^영어에서의 '''전류 밀도''' j^영어는 다음과 같은 극한으로 주어진다.^[3]

: ''j'' = lim_{A^영어 → 0} I/A^영어 = (∂I^영어/ ∂A^영어)|_A^영어=0

여기서 면적 A^영어는 극한 과정 동안 M^영어을 중심으로 하고 전하의 운동에 수직으로 유지된다.

'''전류 밀도 벡터'''는 크기가 전류 밀도이고, 방향이 M^영어에서의 양전하의 운동 방향과 같은 벡터이다.

주어진 시간 t^영어에, 가 M^영어에서의 전하의 속도이고, dA^영어가 M^영어을 중심으로 하고 에 수직인 미소 면적이라면, 시간 간격 dt^영어 동안 dA^영어를 통과하는 것은 dA^영어와 ''v dt''로 이루어진 부피에 포함된 전하뿐이다. 이 전하는 ''dq'' = ρ^영어 ''v dt dA'' 와 같고, 여기서 ρ^영어는 M^영어에서의 전하 밀도이다. 전류는 ''dI'' = ''dq''/''dt'' = ρ^영어 ''v dA''이고, 따라서 전류 밀도 벡터는 벡터 법선 ''dA'' (즉, 와 평행)이고 크기는 ''dI''/''dA'' = ρ^영어 ''v''이다.

: = ρ^영어

면 S^영어에 대한 의 면적분을 시간 구간 부터 까지 적분하면, 그 시간 () 동안 면을 통과하는 총 전하량을 얻는다.

: ''q'' = ∫_t₁^영어^{t₂^영어}∬_S^영어 ⋅ dA dt^영어

더 간결하게 말하면, 이것은 과 사이에 S^영어를 가로지르는 의 플럭스의 적분이다.

플럭스를 계산하는 데 필요한 면적은 실제 또는 허수, 평면 또는 곡면이며, 단면적 또는 표면으로 사용된다. 예를 들어, 전기 전도체를 통과하는 전하 운반자의 경우, 면적은 고려되는 단면의 전도체 단면적이다.

벡터 면적은 전하 운반자가 통과하는 면적의 크기 A^영어와 면에 수직인 단위 벡터 의 조합이다. 관계는 = ''A'' 이다.

미소 벡터 면적은 위에서 주어진 정의에서 유사하게 따른다: = ''dA''

전류 밀도 가 면 법선 에 대한 각도 θ^영어로 면을 통과하면,

: ⋅ = ''j'' cos θ^영어

여기서 는 단위 벡터의 내적이다. 즉, 면을 통과하는 (즉, 면에 수직인) 전류 밀도의 성분은 이고, 면에 접선 방향으로 통과하는 전류 밀도의 성분은 이지만, 실제로 면을 ''통과하는'' 접선 방향의 전류 밀도는 ''없다''. 면에 수직으로 통과하는 전류 밀도의 ''유일한'' 성분은 코사인 성분이다.

2. 3. 일반적인 표현

J = \frac {I} {S}

:J = 전류밀도

:I = 흐르는 전류

:S = 단면적

A^영어 (SI 단위: m²)가 주어진 점 M^영어을 중심으로 하고, M^영어에서의 전하 운동에 수직인 작은 면적이라고 가정한다. I (SI 단위: A)가 A^영어를 통과하는 전류라면, M^영어에서의 '''전류 밀도''' j^영어는 다음과 같은 극한으로 주어진다.^[3]

j = \lim_{A \to 0} \frac{I_A}{A} = \left.\frac{\partial I}{\partial A} \right|_{A=0},

여기서 면적 A^영어는 극한 과정 동안 M^영어을 중심으로 하고 전하의 운동에 수직으로 유지된다.

'''전류 밀도 벡터''' '''j'''^영어는 크기가 전류 밀도이고, 방향이 M^영어에서의 양전하의 운동 방향과 같은 벡터이다.

주어진 시간 t^영어에, '''v'''^영어가 M^영어에서의 전하의 속도이고, dA^영어가 M^영어을 중심으로 하고 '''v'''^영어에 수직인 미소 면적이라면, 시간 간격 dt^영어 동안 dA^영어를 통과하는 것은 dA^영어와

v \,dt

로 이루어진 부피에 포함된 전하뿐이다. 이 전하는

d q = \rho \, v\, dt \, dA,

와 같고, 여기서 ρ^영어는 M^영어에서의 전하 밀도이다. 전류는

dI = dq/dt = \rho v dA

이고, 따라서 전류 밀도 벡터는 벡터 법선

dA

(즉, '''v'''^영어와 평행)이고 크기는

dI/dA = \rho v

이다.

\mathbf{j} = \rho \mathbf{v}.

면 S^영어에 대한 '''j'''^영어의 면적분을 시간 구간 ''t''₁^영어부터 ''t''₂^영어까지 적분하면, 그 시간 (''t''₂ − ''t''₁^영어) 동안 면을 통과하는 총 전하량을 얻는다.

q=\int_{t_1}^{t_2}\iint_S \mathbf{j}\cdot\mathbf{\hat{n}}\,dA \,dt.

더 간결하게 말하면, 이것은 ''t''₁^영어과 ''t''₂^영어 사이에 S^영어를 가로지르는 '''j'''^영어의 플럭스의 적분이다.

플럭스를 계산하는 데 필요한 면적은 실제 또는 허수, 평면 또는 곡면이며, 단면적 또는 표면으로 사용된다. 예를 들어, 전기 전도체를 통과하는 전하 운반자의 경우, 면적은 고려되는 단면의 전도체 단면적이다.

벡터 면적은 전하 운반자가 통과하는 면적의 크기 A^영어와 면에 수직인 단위 벡터

\mathbf{\hat{n}}.

의 조합이다. 관계는

\mathbf{A} = A \mathbf{\hat{n}}.

이다.

미소 벡터 면적은 위에서 주어진 정의에서 유사하게 따른다:

d\mathbf{A} = dA \mathbf{\hat{n}}.

전류 밀도 '''j'''^영어가 면 법선

\mathbf{\hat{n}}.

에 대한 각도 θ^영어로 면을 통과하면,

\mathbf{j}\cdot\mathbf{\hat{n}}= j\cos\theta

여기서 는 단위 벡터의 내적이다. 즉, 면을 통과하는 (즉, 면에 수직인) 전류 밀도의 성분은 ''j'' cos ''θ''^영어이고, 면에 접선 방향으로 통과하는 전류 밀도의 성분은 ''j'' sin ''θ''^영어이지만, 실제로 면을 ''통과하는'' 접선 방향의 전류 밀도는 ''없다''. 면에 수직으로 통과하는 전류 밀도의 ''유일한'' 성분은 코사인 성분이다.

3. 연속 방정식

전하는 보존되므로, 전류 밀도는 연속 방정식을 만족해야 한다. 다음은 기본 원리에서 유도한 것이다.^[9]

어떤 부피 (계산을 위해 임의의 모양을 가질 수 있지만 고정된)에서의 순 유출량은 부피 내부에 저장된 전하의 순 변화량과 같아야 한다.

: $\int_S { \mathbf{j} \cdot d\mathbf{A}} = -\frac{d}{dt} \int_V{\rho \; dV} = - \int_V { \frac{\partial \rho}{\partial t}\;dV}$

여기서 ρ는 전하 밀도이고, d'''A'''는 부피 V를 둘러싸는 면 S의 면적 요소이다. 왼쪽의 면적분은 부피로부터의 전류 ''유출량''을 나타내고, 오른쪽의 음의 부호가 붙은 체적분은 부피 내부의 총 전하의 ''감소량''을 나타낸다. 발산 정리에 따르면:

: $\oint_S { \mathbf{j} \cdot d\mathbf{A}} = \int_V {\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{j} \; dV}$

따라서:

: $\int_V {\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{j}\; dV} \ = - \int_V{ \frac{\partial \rho}{\partial t} \;dV}$

이 관계는 크기나 위치에 관계없이 모든 부피에 대해 유효하며, 이는 다음을 의미한다.

: $\nabla \cdot \mathbf{j} = - \frac{\partial \rho}{\partial t}$

그리고 이 관계를 연속 방정식이라고 한다.^[13]^[14]

4. 전류와의 관계

전류밀도는 흐르는 전류를 단면적으로 나눈 값이다.

: $J = \frac {I} {S}$

::J = 전류밀도

::I = 흐르는 전류

::S = 단면적

m²(SI 단위)인 A^영어가 주어진 점 M^영어을 중심으로 하고, M^영어에서의 전하 운동에 수직인 작은 면적이라고 가정한다. I (SI 단위: A)가 A^영어를 통과하는 전류라면, M^영어에서의 '''전류 밀도''' j^영어는 다음과 같은 극한으로 주어진다.^[3]

: $j = \lim_{A \to 0} \frac{I_A}{A} = \left.\frac{\partial I}{\partial A} \right|_{A=0},$

여기서 면적 A^영어는 극한 과정 동안 M^영어을 중심으로 하고 전하의 운동에 수직으로 유지된다.

'''전류 밀도 벡터''' 는 크기가 전류 밀도이고, 방향이 M^영어에서의 양전하의 운동 방향과 같은 벡터이다.

주어진 시간 t^영어에, 가 M^영어에서의 전하의 속도이고, dA^영어가 M^영어을 중심으로 하고 에 수직인 미소 면적이라면, 시간 간격 dt^영어 동안 dA^영어를 통과하는 것은 dA^영어와 $v \,dt$ 로 이루어진 부피에 포함된 전하뿐이다. 이 전하는 $d q = \rho \, v\, dt \, dA,$ 와 같고, 여기서 ρ^영어는 M^영어에서의 전하 밀도이다. 전류는 $dI = dq/dt = \rho v dA$ 이고, 따라서 전류 밀도 벡터는 벡터 법선 dA^영어 (즉, 와 평행)이고 크기는 $dI/dA = \rho v$ 이다.

: $\mathbf{j} = \rho \mathbf{v}.$

면 S^영어에 대한 의 면적분을 시간 구간 부터 까지 적분하면, 그 시간 () 동안 면을 통과하는 총 전하량을 얻는다.

: $q=\int_{t_1}^{t_2}\iint_S \mathbf{j}\cdot\mathbf{\hat{n}}\,dA \,dt.$

더 간결하게 말하면, 이것은 과 사이에 S^영어를 가로지르는 의 플럭스의 적분이다.

플럭스를 계산하는 데 필요한 면적은 실제 또는 허수, 평면 또는 곡면이며, 단면적 또는 표면으로 사용된다. 예를 들어, 전기 전도체를 통과하는 전하 운반자의 경우, 면적은 고려되는 단면의 전도체 단면적이다.

벡터 면적은 전하 운반자가 통과하는 면적의 크기 A^영어와 면에 수직인 단위 벡터 $\mathbf{\hat{n}}.$ 의 조합이다. 관계는 $\mathbf{A} = A \mathbf{\hat{n}}.$ 이다.

미소 벡터 면적은 위에서 주어진 정의에서 유사하게 따른다: $d\mathbf{A} = dA \mathbf{\hat{n}}.$

전류 밀도 가 면 법선 $\mathbf{\hat{n}}.$ 에 대한 각도 θ^영어로 면을 통과하면,

: $\mathbf{j}\cdot\mathbf{\hat{n}}= j\cos\theta$

여기서 는 단위 벡터의 내적이다. 즉, 면을 통과하는 (즉, 면에 수직인) 전류 밀도의 성분은 이고, 면에 접선 방향으로 통과하는 전류 밀도의 성분은 이지만, 실제로 면을 ''통과하는'' 접선 방향의 전류 밀도는 ''없다''. 면에 수직으로 통과하는 전류 밀도의 ''유일한'' 성분은 코사인 성분이다.

전류는 스칼라 값이며, 전류 밀도와는 다르다. 그 관계는 다음 식과 같다.

: $I=\mathbf{J} \cdot \mathbf{A}$

여기서 I^영어는 전류, '''J'''는 전류 밀도, '''A'''는 단면적이다. 두 양의 점곱에 의해 스칼라량인 전류가 얻어진다.

5. 물질 내 전류 밀도

물질 내에서 전류 밀도는 다음과 같이 정의된다.

: $J = \frac {I} {S}$

J: 전류밀도
I: 흐르는 전류
S: 단면적

5. 1. 자유 전류

자유롭게 이동할 수 있는 전하 운반체는 자유 전류 밀도를 구성한다.^[6]

전류는 전체 전선에서 일어나는 일을 알려주는 거칠고 평균적인 양이다. 시간 t에 위치 '''r'''에서 흐르는 전하의 분포는 전류 밀도로 설명된다.^[6]

:

여기서

'''j'''('''r''', ''t'')는 전류 밀도 벡터이다.
'''v'''_d('''r''', ''t'')는 입자의 평균 표류 속도(m∙s⁻¹)이다.
ρ('''r''', t) = q n('''r''',t)는 전하 밀도(세제곱미터당 쿨롱)이며, 여기서
* n('''r''', ''t'')는 단위 부피당 입자 수("수 밀도")(SI 단위: m^-3)이다.
* q는 밀도 n을 가진 개별 입자의 전하(SI 단위: 쿨롱)이다.

전류 밀도에 대한 일반적인 근사는 전류가 다음과 같이 나타낸 전기장에 단순히 비례한다고 가정한다.

:'''j''' = σ'''E'''

여기서 '''E'''는 전기장이고 σ는 전기 전도도이다.

전도도 σ는 전기 저항률의 역수(역행렬)이며 SI 단위는 지멘스 매 미터(S⋅m⁻¹)이고, '''E'''의 SI 단위는 뉴턴 매 쿨롱(N⋅C⁻¹) 또는, 동등하게, 볼트 매 미터(V⋅m⁻¹)이다.

전류 밀도 계산에 대한 보다 근본적인 접근 방식은 다음을 기반으로 한다.

:

이는 σ의 시간 의존성에 의한 응답 지연과 σ의 공간 의존성에 의한 장에 대한 비국소적 성질을 나타내며, 원칙적으로 미시적 분석에서 계산된다. 예를 들어, 충분히 작은 장의 경우, 재료의 전도성 거동에 대한 선형 응답 함수이다. 예를 들어, Giuliani & Vignale (2005)^[7] 또는 Rammer (2007)을 참조한다.^[8] 적분은 현재 시간까지의 전체 과거 이력에 걸쳐 확장된다.

위의 전도도와 관련된 전류 밀도는 시간과 거리 모두에서 매질 내 전하 수송의 기본 메커니즘을 반영한다.

공간과 시간에 대한 푸리에 변환은 다음을 산출한다.

:

여기서 σ('''k''', ω)는 이제 복소 함수이다.

많은 재료, 예를 들어 결정질 재료에서 전도도는 텐서이고 전류는 적용된 장과 같은 방향이 아닐 수 있다. 재료 자체의 특성 외에도 자기장의 적용은 전도성 거동을 변경할 수 있다.

5. 2. 분극 전류

유전체 재료에서는 단위 부피당 전기 쌍극자 모멘트의 순 이동, 즉 분극 '''P'''에 해당하는 전류 밀도가 존재한다.

:

\mathbf{j}_\mathrm{P} = \frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}

마찬가지로 자성체에서 단위 부피당 자기 쌍극자 모멘트의 순환, 즉 자화 '''M'''은 자화 전류를 발생시킨다.^[10]

:

\mathbf{j}_\mathrm{M} = \nabla\times\mathbf{M}

이러한 항들은 재료 내의 결합 전류 밀도(단위 부피당 전기 및 자기 쌍극자 모멘트의 이동으로 인한 결과 전류)를 형성한다.

:

\mathbf{j}_\mathrm{b} = \mathbf{j}_\mathrm{P}+\mathbf{j}_\mathrm{M}

5. 3. 자화 전류

자성체에서 단위 부피당 자기 쌍극자 모멘트의 순환, 즉 자화('''M''')은 자화 전류를 발생시킨다.^[10]

:

\mathbf{j}_\mathrm{M} = \nabla \times \mathbf{M}

5. 4. 변위 전류

시간에 따라 변하는 전기 변위장 '''D'''에 해당하는 변위 전류도 있다.^[11]^[12]

:

\mathbf{j}_\mathrm{D} = \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}

이는 맥스웰 방정식 중 하나인 앙페르 회로 법칙에서 중요한 항이다. 이 항이 없다면 전자기파의 전파나 일반적인 전기장의 시간적 변화를 예측할 수 없기 때문이다.

6. 중요성 및 실제 응용

전류 밀도는 전기 및 전자 시스템 설계에 중요한 요소이다. 회로 성능은 설계된 전류 레벨에 크게 의존하며, 전류 밀도는 도체 요소의 치수에 따라 결정된다. 예를 들어, 집적 회로의 크기가 작아짐에 따라 더 작은 소자가 요구하는 전류는 감소하지만, 점점 더 작은 칩 면적에 더 많은 소자를 구현하기 위해 전류 밀도가 높아지는 경향이 있다. (무어의 법칙 참조)

고주파수에서는 전선 내의 도전 영역이 표면 근처에 국한되어 이 영역에서 전류 밀도가 증가한다. 이를 표피 효과라고 한다.

높은 전류 밀도는 바람직하지 않은 결과를 초래할 수 있다. 대부분의 전기 도체는 유한하고 양의 저항을 가지므로 열 형태로 전력을 소산한다. 도체가 녹거나 타거나, 절연체가 손상되거나, 원하는 전기적 특성이 변하는 것을 방지하기 위해 전류 밀도를 충분히 낮게 유지해야 한다. 높은 전류 밀도에서는 상호 연결을 형성하는 재료가 실제로 이동하는데, 이 현상을 전자 이동이라고 한다. 초전도체에서 과도한 전류 밀도는 초전도 특성의 자발적인 손실을 초래할 만큼 강한 자기장을 생성할 수 있다.

전류 밀도의 분석과 관찰은 금속뿐만 아니라 반도체와 절연체를 포함한 고체의 본질을 이해하는 물리학을 조사하는 데에도 사용된다.^[4]^[5]

전류 밀도는 전류 밀도를 자기장과 관련짓는 앙페르 회로 법칙(맥스웰 방정식 중 하나)의 중요한 매개변수이다.

특수 상대성 이론에서는 전하와 전류가 4 벡터로 결합된다.

가스 방전 램프(예: 플래시 램프)에서 전류 밀도는 생성되는 출력 스펙트럼에서 중요한 역할을 한다. 낮은 전류 밀도는 스펙트럼선 방출을 생성하고 더 긴 파장을 선호하는 경향이 있다. 높은 전류 밀도는 연속 방출을 생성하고 더 짧은 파장을 선호하는 경향이 있다.^[19] 플래시 램프의 낮은 전류 밀도는 일반적으로 약 10A/mm2이다. 높은 전류 밀도는 40A/mm2를 초과할 수 있다.

6. 1. 반도체 소자

([180 nm 기술)25 °C1000 μA⋅μm⁻² (1000 A⋅mm⁻²)50 °C700 μA⋅μm⁻² (700 A⋅mm⁻²)85 °C400 μA⋅μm⁻² (400 A⋅mm⁻²)125 °C100 μA⋅μm⁻² (100 A⋅mm⁻²)그래핀 나노리본^[16]25 °C0.1–10 × 10⁸ A⋅cm⁻² (0.1–10 × 10⁶ A⋅mm⁻²)

재료	온도	최대 전류 밀도
구리 상호 연결 ([180 nm 기술)	25°C	1000 A/mm²
	50°C	700 A/mm²
	85°C	400 A/mm²
	125°C	100 A/mm²
그래핀 나노리본^[16]	25°C	–